Show Ders sarayının Matematik dersi 10. sınıf ve TYT konuları arasında olan Fonksiyonlar Konu Anlatımı yazısına hoş geldiniz. Fonksiyonlar Konu Anlatımı yazımızda ayrıntılı ve bol örnek ile sırayla; Neden fonksiyonları öğrenmeliyiz? Örneklerin Çözümü 1.pdf i telefonuza indirmek için karekodu okutunuz. pdfFonksiyon Kavramı ve GösterimiFonksiyonların kullanımını içeren veya fonksiyonlarla modellenebilen gerçek/gerçekçi hayat durumlarına verilebilecek örneklerden bazıları şunlardır: Fonksiyon KavramıFonksiyonlar konusu, matematiğin birçok konusu gibi günlük hayatta sıkça kullanılmaktadır. Çamaşır ve bulaşık makinelerinde bulunan yıkama programları ayarlanırken; çay, kahve otomatlarından çay veya kahve alırken fotokopi makinelerinden fotokopi çektirirken veya bir kişiye adres tarif ederken farkında olmadan fonksiyon kavramı kullanılmaktadır. Bir akaryakıt istasyonunda alınan benzin miktarı değiştikçe ödenecek tutar da değişir. Bu iki değişken arasındaki ilişkiyi bir örnekle inceleyelim. Benzinin litresinin 5 TL olduğunu varsayalım. Farklı miktarlardaki benzin için ödenecek tutarları bir tabloyla aşağıdaki gibi gösterebiliriz. Örneğin 5 litre benzin alan biri 25 TL ödemelidir. Gaz pompa makinası, alınan benzin miktarını okudukça ödenecek tutarı göstermektedir. Bu durumu bir şema ile gösterebiliriz: Burada şu iki duruma dikkat edelim: Makineye giren değerler (bağımsız değişkenler) ile çıkan değerler (bağımlı değişkenler) arasındaki ilişki: Girdileri bir küme ve çıktıları başka bir küme olarak da düşünebiliriz. Bu durumda her bir girdiye karşılık gelen çıktı eşlenir. Şimdi kümeler arasındaki ilişki bağlamında fonksiyonun matematiksel tanımını verelim. Fonksiyonun TanımıA ve B boş olmayan iki küme olsun. A kümesinin her bir elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen ilişkiye A dan B ye tanımlı fonksiyon denir. A dan A ya tanımlı bir fonksiyona kısaca A da tanımlı fonksiyon da denir. Fonksiyonlar genellikle f, g, h, F, G, H gibi sembollerle gösterilir. Bir A kümesinden B kümesine tanımlı f fonksiyonu kısaca şu şekilde gösterilir: f : A → B Burada A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye ise fonksiyonun değer kümesi denir. Yapmış olduğumuz fonksiyon tanımındaki şu iki özelliği vurgulayalım: Yukarıdaki şartlardan en az biri sağlanmıyorsa f : A → B bir fonksiyon belirtmez. Örnek Örnek Örnek Örnek Dikkat edilecek olursa bir fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesinin bir alt kümesidir, yani f(A) ⊂ B dir. Bu durum yandaki gibi bir şekille açıklanabilir. Örnek f fonksiyonu x girdisini alıp f(x) çıktısına götüren bir makine şeklinde düşünülebilir. Örnek Örnek A={-1 , 0, 1, 2} olmak üzere f:A→ R f(x)=2x-1 şeklinde tanımlanan f fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz. Tanım kümesi bulma sorularıBu tip sorularda tanım küseinde boşta eleman kalmamasına dikkat edilmeli. Rasyonel bir denklem var ise paydayı sıfır yapan değer tanım kümesinde olmamalıdır. Köklü bir ifade var ise kökün içini negatif yapan değer tanım kümesinde olmamalıdır. Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Fonksiyon Çeşitleriİçine FonksiyonA ve B boş kümeden farklı birer küme olmak üzere f :A → B şeklinde tanımlanan f fonksiyonu için f(A) ≠ B olduğuna göre (değer kümesinde en az bir eleman açıkta kalıyorsa) f fonksiyonuna içine fonksiyon denir. f içine fonksiyon ise kısaca f içinedir denir. Örnek Örten FonksiyonEğer bir fonksiyonun değer kümesindeki her eleman, tanım kümesinden en az bir
eleman ile eşleşmiş ise bu fonksiyon örten fonksiyondur. Örnek Örnek Örnek Bire Bir FonksiyonBir fonksiyonun tanım kümesindeki her bir elemanın görüntüsü diğer elemanların görüntülerinden farklı ise o fonksiyona bire bir fonksiyon denir. Bu tanımı daha net ifade etmek için bire bir olma kavramının cebirsel olarak ne anlama geldiğini belirtelim: Yatay Doğru Testi Örnek Örnek Örnek Eşit FonksiyonA ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere f: A → B, g: A → B tanımlanan f ve g fonksiyonları; x ∈ A için f(x)=g(x )şeklinde yazılabiliyor ise bu fonksiyonlara eşit fonksiyonlar denir ve f = g şeklinde gösterilir. Fonksiyonların eşit olması için tanım ve görüntü kümelerinin eşit olması, tanım kümesindeki her bir eleman için bu elemanların görüntülerinin de aynı olması gerekir. Örnek f: R → R, f(x) = ( a- 4) x3 + ( 2b – 3)x2 – 5x + 7 ve g: R → R, g(x) = 2x3 + 3x2 – (c + 1)x + d – 4 fonksiyonları veriliyor. f ve g fonksiyonları eşit fonksiyonlar ise a. b + c. d işleminin sonucunu bulunuz. Birim (Özdeşlik) FonksiyonTanım kümesindeki her değeri kendisiyle eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir. Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir ve birim fonksiyonun kuralı I(x) = x olarak belirtilir. f: {1, 2, 3, 4, 5} → {1, 2, 3, 4, 5}, f(x) = x olarak verilen bu birim fonksiyonu şema ve grafikle gösterelim. Birim (Özdeşlik) FonksiyonÖrnek Sabit Fonksiyonf : A → B ile verilen bir f fonksiyonu A kümesinin bütün elemanlarını B kümesinden yalnızca bir eleman ile eşliyorsa bu fonksiyona sabit fonksiyon denir. Eşleme yapılan elemanı c ile gösterirsek f sabit fonksiyonunun kuralı f(x) = c şeklindedir. Sabit FonksiyonSabit bir fonksiyonun görüntü kümesi bir elemanlı olmalıdır ve görüntü kümesi bir elemanlı olan fonksiyonlar sabit fonksiyonlardır. Örnek Örnek Doğrusal Fonksiyona ∈ R , a ≠ 0 ve b ∈ R şeklindeki a ve b sabitleri verilsin. Bir f: R → R fonksiyonunun kuralı f(x) = ax + b biçiminde ise bu fonksiyona doğrusal fonksiyon denir. Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek “f: R → R ” ifadesi yerine “R de tanımlı f fonksiyonu” ifadesi de kullanılmaktadır. Örnek Tek Fonksiyon ve Çift Fonksiyony = x2 fonksiyonunun grafiğinin y–eksenine göre simetrik olduğunu ve dolayısıyla tanım kümesindeki her x için f(–x) = f(x) eşitliğini sağladığını gözlemleyebiliriz. Bu özelliği taşıyan fonksiyonlara çift fonksiyon denir. Çift fonksiyonda bilinmeyenlerin kuvvetleri çifttir. f fonksiyonunun tanım kümesindeki her x için; (a, b) noktasının; Örnek Parçalı FonksiyonTanım kümesinin ayrık altkümelerinde farklı kurallarla tanımlı olan fonksiyonlara Bir postanede mektup ve kargo göndermek için alınan gönderinin kütlesine bağlı olarak belirlenen ücret tarifesi aşağıda verilmiştir. Mektup Gönderme Tarifesi: Fonksiyonlarda Aritmetik İşlemlerYeni fonksiyonlar elde etmek için fonksiyonlar da sayılar gibi toplanabilir, çıkarılabilir, çarpılabilir ve bölünebilir. Bu bölümde, bilinen dört aritmetik işlemle
yeni fonksiyonlar elde ederek, bu fonksiyonların başlangıçtaki fonksiyonlarla ilişkisini farklı fonksiyon gösterimleri üzerinden açıklayacağız. Örnek İki Fonksiyonun BileşkesiGünlük hayatta bir değişken diğerine, diğer değişken ise başka bir değişkene bağlı olabilmektedir. Örneğin, suyla doldurulan bir havuzdaki suyun yüksekliği havuza giren su miktarına, su miktarı ise zamana bağlı olarak değişmektedir. Dikkat ettiyseniz bu örnekte geçen üç değişken arasında kurulan iki ilişkiden yani, iki fonksiyondan söz ettik. Örneğin; havuz doldurulmaya başlandıktan 3 saat sonra havuzdaki su miktarını t = 3 için V(3) ile hesaplarız. Sonra V(3) çıktısını Y(V) fonksiyonunun girdisi olarak kullanarak 3 saat sonra havuzdaki suyun yüksekliğini Y(V(3)) ifadesi ile hesaplarız. Bu durumu aşağıdaki şekilde görselleştirebiliriz Bir fonksiyon için bağımlı değişken olan bir çokluk diğeri için bağımsız değişken olmakta, böyle iki fonksiyon tek bir fonksiyon olarak ifade edilebilmektedir f: A → B ve g: B → C fonksiyonları verilsin. gof: A→ C olmak üzere Örnek Örnek Örnek Örnek Fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. Örnek Örnek Doğrusal iki fonksiyonun bileşkesi yine doğrusal fonksiyondur. Örnek Örnek Örnek İkiden fazla fonksiyonun bileşke işleminde, fonksiyonların yerini değiştirmediğiniz sürece işleme hangi ikisinden başladığınız sonucu değiştirmez. Herhangi üç f, g, h fonksiyonu için Örnek Bir Fonksiyonun TersiGünlük hayatta bazı nicelikler (çokluklar) arasında oluşturulabilen fonksiyonlar iki yönlü olabilir. Bir Fonksiyonun TersiDikkat edilirse f fonksiyonunun girdisi (ad–soyad) g fonksiyonunun çıktısı (ad–soyad) olmaktadır. Benzer şekilde f fonksiyonunun çıktısının (öğrenci no) ise g fonksiyonunun girdisi (öğrenci no) olduğu görülmektedir. Bu şekilde aralarında bir ilişki olan f ve g fonksiyonları birbirinin ters fonksiyonu olarak adlandırılır. Tanım kümesi A ve değer kümesi B olan bire bir ve örten f fonksiyonunun ters fonksiyonu f–1 olarak gösterilir. f–1 ters fonksiyonunun tanım kümesi B, değer kümesi A olur. f ve f–1 için, f fonksiyonunun tersi ile çarpmaya göre tersi farklıdır. Örnek Günlük hayatta, fonksiyon olarak modelleyebileceğimiz çokluklar arası ilişkilerde bağımlı ve bağımsız değişkenler yer değiştirdiğinde
oluşan yeni durum her zaman bir fonksiyon belirtmeyebilir. f fonksiyonun tersinin olması için gerek ve yeter şart bire bir ve örten olmasıdır. Bir fonksiyon bire bir ise tanım kümesindeki farklı iki elemanın görüntüsü aynı olamaz. (x,y) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği (y,x) noktası olduğu için f ve f–1 fonksiyonlarının grafikleri de y = x doğrusuna göre simetrik olur. Bir Fonksiyonun Tersinin GrafiğiÖrnek Bir Fonksiyonun Tersini BulmaBir fonksiyonun tersi, fonksiyonun yaptığı işlemi tersine çevirir. Fonksiyonun girdisi olan x önce y çıktısıyla sonra tekrar kendisiyle eşleşir. Bir Fonksiyonun Tersini Bulmaf fonksiyonunun tersi f–1 fonksiyonunu bulmak için; Örnek Örnek Örnek Örnek f (x) = 5x + 6 ve (fog) = 2x + 7 olduğuna göre g (x)fonksiyonunun tersinin kuralını bulunuz. Bir f fonksiyonun tersinin tersi kendisidir. Örnek Fonksiyon Grafiklerini YorumlamaFonksiyonun grafiği üzerindeki her noktadan y eksenine çizilen paralel doğruların x ekseninde kestiği noktalar fonksiyonun tanım kümesini, x eksenine çizilen paralel doğruların y ekseninde kestiği noktalar ise fonksiyonun görüntü kümesini verir. f : A → B, y = f(x) fonksiyonuna ait bütün noktaların koordinat sisteminde gösterilmesiyle oluşan noktalar kümesine f fonksiyonunun grafiği denir. Bu grafik çizilirken tanım kümesinin elemanları yatay eksende, değer kümesinin elemanları ise düşey eksende gösterilir. Örnek Örnek Örnek f : A → B, y = f(x) fonksiyonunda x in f altındaki görüntüsü y, y nin ters görüntüsü x tir Örnek Düşey Doğru TestiGrafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını belirlemek için tanım aralığının her noktasından y eksenine paralel doğrular çizilir. Çizilen bu doğrular, grafiği yalnız bir noktada kesiyorsa bu bağıntı bir fonksiyondur. Diğer durumlarda bu bağıntı fonksiyon değildir. Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını tespit etmek için uygulanan bu teste düşey (dikey) doğru testi denir. Örnek f(x)=0 Denkleminin KökleriGrafiği verilen bir f fonksiyonunun x eksenini kestiği noktalar y =f(x) = 0 denkleminin kökleridir. Tanım kümesinin bir alt aralığının görüntüsü x ekseninin üzerinde kalıyorsa bu aralık f (x) > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesidir. Tanım kümesinin bir alt aralığının görüntüsü x ekseninin altında kalıyorsa bu aralık f (x)< 0 eşitsizliğinin çözüm kümesidir. Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Doğrusal Fonksiyonun Grafiğif : R → R , y = f(x) = ax + b biçimindeki doğrusal fonksiyonların grafikleri çizilirken en az iki x değeri için f(x) değerleri bulunur. Bulunan (x,f(x)) noktaları, koordinat sisteminde işaretlenir. Bu noktaların birleştirilmesiyle oluşan doğru f fonksiyonunun grafiğidir. Örnek Yanda bir aracın km cinsinden gittiği yola bağlı olarak litre cinsinden kalan yakıt miktarını gösteren grafik verilmiştir. Buna göre depoda 24 L yakıt kaldığında aracın kaç km yol gittiğini bulunuz. Örnek Yandaki doğrusal grafikler A ve B ağaçlarının zamana bağlı boylarındaki değişimi göstermektedir. Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Fonksiyonlar Konu Anlatımı yazımız burada sona erdi. 10. Sınıf Matematik dersi ile ilgili diğer tüm yazılara buradan ulaşabilirsiniz. Konuyla ilgili ek çalışma yapmak için burayı ziyaret edebilir, sitemizdeki diğer bütün derslerle ilgili içeriklere buradan ulaşabilirsiniz. Yorumlar kısmına Fonksiyonlar Konu Anlatımı ile ilgili fikir ve görüşlerinizi yazmayı unutmayın. Sosyal medya hesaplarımızı ve mail adresimizi kullanarak bizi her platformda takip edebilir, bize görüşlerinizi, soru – sorun ve önerilerinizi iletebilirsiniz. Bir sonraki yazımızda görüşmek üzere. İyi çalışmalar. 😎 Yasal Uyarı: Yayınlanan içeriğin ve diğer içeriklerin bütün fikri ve mülki hakları https://www.derssarayi.com/ ” a aittir. Kaynak gösterilse dahi içeriğin tamamı özel izin alınmadan kullanılamaz. Ancak alıntılanan yazının bir bölümü, alıntılanan yazıya aktif link verilerek kullanılabilir. |